牛頓迭代法用python編寫，其核心在于利用函數(shù)的切線逼近其根。

實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法需要明確目標(biāo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)。 假設(shè)我們要尋找函數(shù)f(x) = 0的根。牛頓迭代公式如下：

x_(n+1) = x_n – f(x_n) / f'(x_n)

其中，x_n是第n次迭代的近似解，x_(n+1)是下一次迭代的近似解，f'(x_n)是函數(shù)f(x)在x_n處的導(dǎo)數(shù)。

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編寫Python代碼時(shí)，我們需要定義目標(biāo)函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)。 例如，假設(shè)我們想求解方程 x2 – 2 = 0 (即求√2的近似值)。 那么我們的目標(biāo)函數(shù)是 f(x) = x2 – 2，其導(dǎo)函數(shù)是 f'(x) = 2x。

下面是一個(gè)Python函數(shù)的實(shí)現(xiàn)：

def newton_raphson(f, df, x0, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
    """
    牛頓迭代法求解方程f(x) = 0

    Args:
        f: 目標(biāo)函數(shù)
        df: 目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
        x0: 初始猜測(cè)值
        tolerance: 收斂容差
        max_iterations: 最大迭代次數(shù)

    Returns:
        近似解或None(如果未收斂)
    """
    x = x0
    for i in range(max_iterations):
        fx = f(x)
        dfx = df(x)
        if abs(fx) < tolerance:
            return x
        if dfx == 0:
            return None #避免除零錯(cuò)誤
        x = x - fx / dfx
    return None #如果超過最大迭代次數(shù)仍未收斂

# 求解x^2 - 2 = 0
def f(x):
    return x**2 - 2

def df(x):
    return 2*x

solution = newton_raphson(f, df, 1.0) #從1.0開始迭代

if solution is not None:
    print(f"√2 的近似值: {solution}")
else:
    print("未收斂")

登錄后復(fù)制

這段代碼定義了newton_raphson函數(shù)，它接受目標(biāo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、初始猜測(cè)值以及收斂容差和最大迭代次數(shù)作為參數(shù)。 代碼中包含了對(duì)除零錯(cuò)誤的處理，以及迭代次數(shù)上限的設(shè)定，避免了無限循環(huán)。 我曾經(jīng)在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)橥浽O(shè)置最大迭代次數(shù)，導(dǎo)致程序卡死，因此這部分代碼至關(guān)重要。

值得注意的是，初始猜測(cè)值x0的選擇會(huì)影響收斂速度甚至是否收斂。一個(gè)好的初始猜測(cè)值能夠顯著提高效率。 例如，如果我們選擇x0 = 100，程序仍然能夠收斂到√2，但是迭代次數(shù)會(huì)比x0 = 1.0多很多。 這就像在山谷中尋找最低點(diǎn)，初始位置離最低點(diǎn)越近，找到最低點(diǎn)所需要的步驟就越少。

此外，牛頓迭代法并非總是收斂的，尤其當(dāng)導(dǎo)函數(shù)在根附近接近于零時(shí)，或者初始猜測(cè)值選擇不當(dāng)，都可能導(dǎo)致算法發(fā)散。 因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要謹(jǐn)慎選擇初始值并結(jié)合其他方法進(jìn)行驗(yàn)證。 我曾經(jīng)嘗試用牛頓迭代法求解一個(gè)復(fù)雜的非線性方程，因?yàn)槌跏贾颠x擇不當(dāng)，導(dǎo)致算法反復(fù)震蕩，最終無法收斂，最后不得不改用其他數(shù)值方法。 因此，對(duì)算法的理解和對(duì)參數(shù)的合理選擇至關(guān)重要。

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